ANÀLISI D'UNA VARIABLE REAL I

INTRODUCCIÓ.
1. INTRODUCCIÓ AXIOMÀTICA DELS NOMBRES REALS.
1.0 Motivació.
1.1 Els nombres naturals. Principi d'inducció.
1.2 Els nombres enters.
1.3 Propietats dels nombres racionals.
1.4 Propietats dels nombres reals.
1.5 Propietats que es dedueixen de l'axioma del suprem.
1.6 Potències i arrels n-èsimes.
1.7 Intervals.
1.8 Exercicis.
2. SUCCESSIONS DE NOMBRES REALS.
2.0 Motivació.
2.1 Conjunts finits i infinits.
2.2 Successions de nombres reals.
2.3 Successions monotones.
2.4 Subsuccessions.
2.5 Successions de Cauchy.
2.6 Càlcul de limits.
2.7 Exercicis.
3. LÍMITS I CONTINUÏTAT DE LES FUNCIONS REALS DE VARIABLE REAL.
3.0 Motivació.
3.1 Un poc de topologia en R.
3.1.1 Conjunts tancats.
3.1.2 Punts adherents i adherència d'un conjunt.
3.1.3 Conjunts compactes.
3.1.4 Conjunts oberts.
3.2 Nocions generals al voltant de les funcions.
3.3 Límits i continuïtat.
3.4 Tipus de discontinuïtats de les funcions reals.
3.5 Discontinuïtats de les funcions monòtones.
3.6 Límits infinits i límits en l'infinit.
3.7 Funcions equivalents en un punt.
3.8 Funcions contínues en un conjunt.
3.9 Continuïtat i compacitat.
3.10 Continuïtat uniforme.
3.11 Exercicis.
4. DERIVACIÓ DE FUNCIONS D'UNA VARIABLE REAL.
4.0 Motivació.
4.1 Concepte de derivabilitat. Primeres regles.
4.2 Comportament local d'una funció derivable.
4.3 Funció derivada.
4.4 Regles de l'Hôpital.
4.5 Derivades d'ordre superior.
4.6 Aproximacions locals, desenvolupaments limitats i la fórmula de Taylor.
4.7 Operacions amb desenvolupaments limitats.
4.8 Extrems relatius. Classificació relativa a l'existència de desenvolupaments limitats.
4.9 Convexitat i concavitat.
4.9.1 Posició relativa respecte a la tangent de la gràfica de la funció en un punt.
4.9.2 Convexitat i concavitat en un interval.
4.10 Representació gràfica.
4.11 Exercicis.
ÍNDEX ALFABÈTIC.
BIBLIOGRAFIA.

El present manual està especialment dirigit als alumnes d'un primer curs universitari que s'inicien en l'estudi de l'anàlisi matemàtica des d'un punt de vista formal. Els seus continguts, estructurats en quatre capítols, formen part d'una primera assignatura bàsica de grau enquadrada en la teoria de funcions de variable real i que ha de servir de fonament i referència per a posteriors cursos. Així, entre altres aspectes, aquest tractat aborda coneixements bàsics del cos dels nombres reals, l'estudi de les successions de nombres reals i el desenvolupament de nocions i tècniques matemàtiques al voltant de la continuïtat i derivabilitat de funcions reals de variable real. Cada capítol inclou una motivació prèvia i una gran quantitat d'exemples, il·lustracións gràfiques, observacions, notes aclaridores i exercicis de dificultat variada per tal que el lector practique per si mateix.